Tabella dei limiti notevoli con esercizi

In questo articolo vedremo quali sono i principali limiti notevoli (o limiti fondamentali) e impareremo concretamente a utilizzarli all'interno degli esercizi. Quelli che vengono chiamati limiti notevoli non sono altro che delle forme indeterminate classiche, particolarmente ricorrenti, di cui si impara il risultato in modo da riuscire a risolvere una quantità vastissima di altri limiti.

Limiti Notevoli

Funzioni Goniometriche

$\lim\limits_{x \to 0} \frac{senx}{x} = 1$	$\lim\limits_{x \to 0} \frac{tgx}{x} = 1$
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - cosx}{x} = 0$	$\lim\limits_{x \to 0} \frac{arcsenx}{x} = 1$
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{1 - cosx}{x^2} = \frac{1}{2}$	$\lim\limits_{x \to 0} \frac{arctgx}{x} = 1$

Funzioni esponenziali e logaritmiche

$\lim\limits_{x \to \infty} \left(1+ \frac{1}{x}\right)^x = e$	$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\log_{a}{(1+x)}}{x} = \log_{a}{e}$
$\lim\limits_{x \to 0} (1 + x)^\frac{1}{x} = e$	$\lim\limits_{x \to 0} \frac{\ln{(1+x)}}{x} = 1$
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln{a}$	$\lim\limits_{x \to 0^+} x^a\ln{x} = 0 \ se\ a>0$
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$	$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{\ln{x}}{x^a} = 0 \ se\ a>0$
$\lim\limits_{x \to 0} \frac{(1 + x)^a -1}{x} = a$	$\lim\limits_{x \to \infty} \frac{x^a}{a^x}= 0 \ se\ a>1$

Esercizi

Svolgiamo ora alcuni esempi di limiti complessi applicando i limiti notevoli.

Esercizio 1, utilizziamo il limite notevole $\lim\limits_{x \to 0} \frac{senx}{x} = 1$

Calcoliamo $\lim\limits_{x \to 0} \frac{tgx + 3x}{x + senx}$.

Il limite presenta la forma indeterminata $\frac{0}{0}$.

Sostituiamo $tgx = \frac{senx}{cosx}$:

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{tgx + 3x}{x + senx} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{senx}{cosx} + 3x}{x + senx} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{senx + 3xcosx}{cosx}}{x + senx} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{senx + 3xcosx}{cosx(x + senx)}$$

Raccogliamo x al numeratore e al denominatore, semplifichiamo e calcoliamo il limite tenendo conto che $\lim\limits_{x \to 0} \frac{senx}{x} = 1$

$$\lim\limits_{x \to 0} \frac{x\left(\frac{senx}{x} + 3cosx\right)}{xcosx\left(1 + \frac{senx}{x}\right)} = \lim\limits_{x \to 0} \frac{\frac{senx}{x} + 3cosx}{cosx\left(1 + \frac{senx}{x}\right)} = \frac{1 + 3 \cdot 1}{1(1 + 1)} = 2$$

Esercizio 2, utilizziamo il limite notevole $\lim\limits_{x \to 0} \frac{senx}{x} = 1$

Calcoliamo $\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{cosx}{x - \frac{\pi}{2}}$.

Il limite presenta la forma indeterminata $\frac{0}{0}$.

Ci riconduciamo al limite notevole $\lim\limits_{x \to 0} \frac{senx}{x} = 1$ con un cambiamento di variabile, ossia ponendo $y = x - \frac{\pi}{2}$, da cui $x = y + \frac{\pi}{2}$.

Osserviamo che per $x \to \frac{\pi}{2}$, $y \to 0$ e quindi il limite dato, utilizzando le formule degli archi associati, diventa:

$$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{cosx}{x - \frac{\pi}{2}} = \lim\limits_{y \to 0} \frac{cos\left(y + \frac{\pi}{2}\right)}{y} = \lim\limits_{y \to 0} \frac{-seny}{y} = -1$$

Esercizio 3, utilizziamo il limite notevole $\lim\limits_{x \to \infty} \left(1+ \frac{1}{x}\right)^x = e$

Calcoliamo$\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{5 + x}{x}\right)^x$.

Per $x \to +\infty$ si ha la forma indeterminata $1^\infty$.

Per ricondurci al limite notevole spezziamo la frazione tra parentesi

$$\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{5 + x}{x}\right)^x = \lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{5}{x} + 1\right)^x$$

Poniamo ora $y = \frac{x}{5}$, cioè $x = 5y$. Osserviamo che, per $x \to +\infty$, $y \to +\infty$.

Il limite diventa:

$$\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{5}{x} + 1\right)^x = \lim\limits_{y \to +\infty} \left(\frac{5}{5y} + 1\right)^{5y} = \lim\limits_{y \to +\infty} \left(\frac{1}{y} + 1\right)^{5y} = \lim\limits_{y \to +\infty} \left[\left(1 + \frac{1}{y} \right)^y\right]^5 = e^5$$